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9, 9月 2022
经典汉诺塔问题魅力四射撬动你的思维

很多孩子第一次见到汉诺塔问题时,估计都是一头雾水吧!也许你最终可以在网上找到标准答案,但是真正理解了它的求解过程的人应该是少之又少了。今天我们就来给大家详细的讲解一下汉诺塔问题。

所谓知己知彼,百战不殆。在正式开始分析问题前,先来听一段故事:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,但不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

64片金片太多,可以让小朋友们从简单的开始。假设3根柱子是A, B, C。1个盘片:需要移动1次,2个盘片:需要移动3次,3个盘片:需要移动7次,具体地,要把3个盘片从A号柱子搬到C号柱子,那么应该首先将上面两个1,2号盘片搬到B号柱子(移动3次),然后将最底下的3号盘片搬到C号柱子,然后再将1,2号盘片从B号柱子搬到C号柱子(移动3次)。此时,实际上已经发现了相同结构的但规模更小的问题。也就是移动3个盘片,可以利用之前移动2个盘片的结果。

在此基础上,将N个盘片从A号柱移动到C号柱,我们不知道怎么做,但如果我们能首先把N-1个盘片从A号柱移动到B号柱,再把最底下的那个盘片从A号柱移动到C号柱,最后再把B号柱的N-1个盘片移动到C号柱,这个问题就解决了。在移动上面N-1个盘片的时候,由于底下的盘片最大,所以可以假设它并不存在。因此F(N)=2×F(N-1)+1。

也就是说按这一递推关系,这个序列是1,3,7,15,31,63,127, …。可以看出,N个盘片移动的次数是2^N-1。成功移动64个盘片需要51615次。假如每移动一个盘片花1秒,并且这些僧侣能够正确无误地移动每一步的话(我是不相信的),需要花大约6000亿年才能完成且不论这个传说是否可信,单从数学角度分析,如果每秒移动一片金片的话,则移完所有的金片至少需要5845.54亿年。到了那个时候,不要说地球了,估计太阳系都灰飞烟灭了吧(太阳寿命还剩大约50亿年)!从这个角度看,这些僧侣们还真没忽悠人,甚至还有人相信婆罗门至今还在不停的移动圆盘。

汉诺塔问题是一个经典递归问题,汉诺塔问题在数学界有很高的研究价值,而且至今还在被一些数学家们所研究,也是我们所喜欢玩的一种益智游戏,它可以帮助开发智力,激发我们的思维。简化这一问题,我们先从这一简单情形说起,也能体会问题内在的韵味及魅力.先看看这一问题变形版本吧。

问题:相传古印度一座梵塔圣殿中,铸有一片巨大的黄铜板,之上树立了三米高的宝石柱,其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘,小盘压着较大的盘子,如图,把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去,移动过程不许以大盘压小盘,不得把盘子放到柱子之外.移动之日,喜马拉雅山将变成一座金山.

n=2时,小盘→2柱,大盘→3柱,小盘从2柱→3柱,完成.即h(2)=3;

n=3时,小盘→3柱,中盘→2柱,小盘从3柱→2柱.[即用h(2)种方法把中、小两盘移到2柱,大盘3柱;再用h(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱,完成;

我们没有时间去移64个盘子,但你可由以上移动过程的规律,计算n=6时,h(6)=()

【分析】根据移动方法与规律发现,随着盘子数目的增多,都是分两个阶段移动,用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱,然后把最大的盘子移动到3柱,再用同样的次数从2柱移动到3柱,从而完成,然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可.

【点评】本题考查了图形变化的规律问题,根据题目信息,得出移动次数分成两段计数,利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱,把最大的盘子移动到3柱,然后再用同样的次数从2柱移动到3柱,从而完成移动过程是解题的关键,本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高.

变式1.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”;有3个柱子甲、乙、丙,在甲柱上现有4个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图),把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束,在移动过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下,设游戏结束需要移动的最少次数为n,则n=()

【分析】根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的,所以比三个操作的此时(23﹣1)要多,此四个操作的此时(24﹣1)要少,相当与操作三个的时候,最上面的那个动了几次,就会增加几次,由此能求出结果.

【点评】本题考查了图形变化的规律问题,根据题目信息,得出移动次数分成两段计数,利用盘子少一个时的移动次数移动到乙盘,再把最大的盘子移动到丙盘,然后再用同样的次数从乙柱移动到丙柱,从而完成移动过程是解题的关键,本题对阅读并理解题目住处的能力要求比较高.试题

变式2.小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的”梵塔游戏”.有甲、乙丙3个柱子,甲柱子上有n(n≥3)个盘子,从上往下大小不等,大的在下,小的在上(如图),把这n个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上游戏结東,在移动过程中每次只能够移动一个盘子,甲、乙、丙3个柱子都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子

【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.

复变式3.古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n(n∈N*)个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在A柱上,现要将套在A柱上的盘换到C柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子A、B、C可供使用.

本题的(1)问关键是从特殊中发现一般性的规律,考查构造法求数列的通项;(2)问体现等价转化的数学思想,同时应注意放缩法的运用.

汉诺塔问题还有个最关键的问题就是第一步的第一小步是将顶层圆盘挪至辅助柱还是还是目标柱的问题。说它关键,是因为一步错,步步错。第一步走错了,后面再怎么走,走对。那这关键的第一步该怎么走呢?经过推理与分析,找到了问题的答案:若塔层数为奇数,顶层圆盘应首先放在目标柱;若是偶数,则放在辅助柱。这就是汉诺塔,一款起源于印度古老传说的简单而又不那么简单的益智小游戏。从汉诺塔游戏中的规律可发现汉诺塔游戏中蕴藏着丰富的数学内容,因此,玩好汉诺塔游戏不仅可以从中获得游戏的快乐,而且还能够从中学到很多数学知识,体会很多数学思想与数学方法。小游戏中蕴含大智慧,虽然比赛结束了,但是游戏精神,思维模式会伴随着孩子的成长,使孩子们终生受益。

狗尾续貂说一点,递归在计算机中占有极为重要的地位,从形式化定义到算法,它的身影无处不在。可以这么说,对初涉编程的人,是否会用递归思维去解决问题是一名普通程序员迈向一名优秀程序员的一大门槛。从小让孩子具备一些递归思维,或许会让孩子学习编程容易一点,在未来受益匪浅。

1, 9月 2022
尖子生思维训练:汉诺塔游戏

1.认识汉诺塔。了解汉诺塔历史及游戏规则,学会移动3~6个圆盘的玩法。能用条理清晰的语言阐述自己的想法。

2.在学习过程中,经过自己的探索,发现前面探究获得的结果可以帮助解决后面未知的问题(递推思想),感知首环移动与圆盘的奇偶性关系。体验数学方法倒推、转换、递归等在游戏中的应用,培养学生思考力。

师:昨天老师留了预习作业,让大家收集有关汉诺塔的资料。现在我们就来看看几位同学收集的资料吧。

生1:通过搜集我知道了汉诺塔的构造,它是由一个底座和三根同样高的柱子构成,这三根柱子从左到右可以叫A柱、B柱、C柱。其中一根柱子上,由下至上还排列着由大到小的8个不同颜色的圆环。

师:“在印度,有这么一个古老的传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。 当把所有的圆环按规则移动到另外某一个柱子上时地球就毁灭了。”这个预言真假,有科学性么?

师:世界末日真的会到来吗?一位法国的著名数学家爱德华听了这个故事,就动手玩了这个游戏,结果他笑了,他为什么笑了呢?今天我们玩一玩这个器具,共同走进奇妙的汉诺塔。(板书课题。)

师:(出示课件。)刚才同学介绍了汉诺塔的三根柱子分别叫A柱、B柱、C柱。为了一会儿操作方便我们还可以把圆环所在的A柱叫起始柱;假如我们想把圆环移到C柱上,C柱就叫目标柱;B柱就叫过渡柱。而在圆环的移动过程中,有时候它们的角色会发生转变。这8个圆环也可以叫做圆盘,我们可以从上至下叫1环、2环、3环……8环,另外这8个环的首领是最小的1环,所以1环也可以叫首环。

师:大家还记得这个游戏的规则吗?把圆环按原来的顺序,也就是原来小环在上,大环在下,把它们移到另一根柱子上时,仍然要小环在上,大环在下。同学们想想移动的过程中我们的第一个目标是把最大环移至目标柱,还是把最小环移至目标柱。(板书:一次一环,大不压小。)动手试试吧。

师:看来要成功地移出8个环确实有难度,它的移动一定是有规律可寻的,那我们可不可以降低难度由易到难,从一个盘的移动开始体会。接下来请大家借助老师为你准备的导学单,我们一起来研究一下。

师:导学单的第一列是什么?(生:环数。师板书。)也就是要移动几个环;第二列呢?这里哪个词最重要?(生:最少用几步。师板书。)“最少”体现了数学上的优化思想,所以也可以说是最优步数;第三列呢?(生:首环位置。师板书。)就是第一步先把首环放在哪根柱子上?这正是我们要验证的一个重要问题。

毋庸置疑一环移出没有障碍,一步就可以完成,第一步首环直接落在目标柱上。(板书:1-1-目。)

师:这两位同学的操作,虽然都把圆环送达了目标柱,但是你更喜欢谁的方法?为什么?(生:用3步完成的。)(板书:3。)当我们选择最简洁的步骤完成任务时,就体现了我们数学中的“优化”思想。在学习和生活中我们会选择优化的方法,效率就会提高,我们的头脑也会变得更聪明更智慧。

现在我们看一下两位同学演示过程的解析图,为什么有的同学用3步,有的同学用5步?他们在第几步出现了不同?

师:首环移动时就不同了。用5步完成的同学第一步把首环落在哪了?(生:目标柱。)。用3步完成的同学,第一步把首环落在哪了?(生:过渡柱。)

移出兩环时为什么把首环落在过渡柱上步数才最优呢?在移动两环时我们的第一目标是——(生:最大环——目标柱。)最大圆环能否直接移去目标柱?(生:不能。)原因是——(生:首环压住了最大环。)怎么办?(生:上面的首环是障碍,所以先把首环落在过渡柱上,首环要礼让才能顺利移出最大环。)就像排队一样,越想往前挤就越浪费时间,首环如果先挤占了目标柱,最大环就不能直接去目标柱了,就浪费了步数,所以首环应落在——(生:过渡柱。)

师:再次操作,请所有同学把首环落在过渡柱上移出两环。如果同桌有困难,请相互帮助。

师:看来首环的位置就已经决定我们的步数是否最优。 要想优化两环的步骤,我们的第一步一定落在哪里?(生:过渡柱上)。回头看移出一环时我们直接把它落到哪根柱子上了?(生:目标柱)。那要想优化三环的步骤首环应该落到哪根柱子上?看课件让我们分组试试,女生落在目标住上,男生落在过渡柱上,把你的步骤记录在导学单上。

师:为什么把首环落到目标柱用的步数最少?请同学们再次移动找出原因。谁来讲讲移三环的时候为什么把首环落到目标柱用的步数最少?

生:移三环的第一目标还是最大环先移到目标柱上,那上面两个环就是大环的障碍,要想把上面两个环都移至过渡柱上,第一个环又是第二个环的障碍,所以要先把第一个环落在目标柱上。

师:他的这种方法叫做倒推法,倒推是一种非常好的数学思想。它是利用已知条件,最大环要移去目标柱,倒着向前推理,那前两环应该怎么办?二环要移至过渡柱,倒着向前推理一環怎么办?这样倒着推理出首环要落在目标柱步骤才能最优。

师:在移出四环之前你能以第一目标:最大环移去目标柱开始,倒推出首环的位置吗?同桌交流,大胆推测。

(一生说推理过程:4-目,前3-过,前2-目,首-过。首环应落在过渡柱位置。)

师:第一目标:最大环去目标柱,前三环要去过渡柱,这时候B柱其实是前三环的——(生:目标柱。)C柱变成前3环的——(生:过渡柱。)按三环的移动经验,7步把它们移至B柱上。第八步将最大盘成功落在目标柱上,再将前三环移至C柱上,这时候C柱又变成前三环的目标柱了,A柱变成前三环的过渡柱。这个过程你有什么发现?在移动的过程中三个柱子的角色是在变换的。这种变换就是另一种数学思想——转换,利用转换的思想可以令我们走出困境。

观察前四环的移动,你们发现了首环移动的规律了吗?(生:单数环首环移动到目标柱,双数环首环移动到过渡柱。)能根据这个规律推想一下移出五环时,首环落在哪?(师板书。)

师:我们再看最优步数,四环的步数是怎么得到的?是在几环的基础上?7×2+1,(师板书)这个7是谁用的步数?这个1呢?哪位同学来说一说?

师:五环用多少步你能算出来吗?(生:15×2+1=31。)六环呢?(生:31×2+1=63。)

师:那我们能不能将它分解成前四环和最大环来想,前四环如果能移到过渡柱,最大环就能顺利地移至目标柱。我们刚刚研究过四环的移出用15步。 同样道理,移4环需要考虑怎样把前3环移出,移3环需要考虑怎样把前2环移出。这种思想就叫递归。递归就是把一个复杂的思想转换成与之类似的简单的小问题来解决。5环较为复杂,我们就把它转换成4环来想,4环就把它转换成3环来想,这就是递归。

师:同学们真是了不起,在短短的时间内不仅探究出首环位置的规律,还找到了计算圆环移动次数的方法。数学家爱德华也找到了这个方法,他按这个方法计算下去,10环1023步,20环100多万步,30环 10 亿多步……继续算下去,移动完64个环要用1800多兆步,移完这个步数大约要用5850亿年。5850亿年,那是个遥不可及的未来!所以爱德华笑了。通过汉诺塔的学习,我们了解并运用了一些数学思想,比如:化难为易、优化、倒推、转换、递归……这些数学思想能使我们变得更聪明更智慧,少年智则国智!少年强则国强!有了你们的大智慧我们的祖国一定会更加富强!

1, 9月 2022
8层汉诺塔最简单的玩法

盘1向左移动一步,到丙柱。盘2向左移动一步,不符合游戏规则,移动两步,到乙柱。盘3向左移动一步,不符合游戏规则,移动两步,不符合游戏规则。找到最小的盘1,向左移动一步,移动到乙柱。盘2被盘1压住,无法移动。盘3向左移动一步,到丙柱。找到最小的盘1,向左移动一步,到甲柱。盘2向左移动一步,不符合游戏规则,移动两步,到丙柱。盘3被盘2压住,无法移动。找到最小的盘1,向左移动一步,到丙柱。游戏完成。

汉诺塔移动时,三个盘子要移动7步,这是固定的。当四个盘子时,它先要把最上面的三个盘子移动到另外一根针上(这时移动了7步),然后把第四个盘子移动到另一根针上(这时共移动了8步,三个盘子的7步加上第四个盘子的1步),最后再把那三个盘子移动到第四个盘子上面(又是7步),所以,四个盘子要移动15步。五个盘子也是同样,我们知道了四个盘子的移动步数是15步,那么5个盘子就是15+1+15等于31步。由此得出结论:每增加一个盘子,它的移动步数就增加原来步数的一倍加1。我们已经知道5个盘子移动31步,那么,6盘子就是31*2+1=63步。7盘子就是63*2+1=127步

汉诺塔(又称河内塔)是一款WP7平台上源于印度一个古老传说的益智类游戏。传说上帝创造世界的时候做了三根金刚石柱子,在一根柱子上从下往上安大小顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

以下是移动的过程:(说明:A表示第一个柱子 B表示第二个珠子 C表示第三个柱子 –表示盘的移动方向)

普通地点的兵招完就没有了,不会再刷新。少数地点会随着相关任务的完成刷新新的士兵,或者补充原有士兵的数量。比如德比岛的王堡和教堂,随着你完成主线任务会两次增加新的强力兵种,并大额增加原有士兵数量,而且还会刷新出部分高级装备。恶魔岛的高空城堡中,杀掉魔王也会导致城堡中的兵种和装备刷新。

31, 8月 2022
龙岩17岁女孩打破吉尼斯世界纪录!

让人意想不到的是,陈诺从接触汉诺塔到打破纪录,仅仅用了不到1个月的时间。

原来,在陈诺6岁时,妈妈就开始引导她学习魔方,这一发就不可收拾,陈诺疯狂地迷上魔方。家中各种大小不一、形状各异的魔方上百个。在练习魔方的过程中,无形中锻炼了陈诺手指、眼睛、大脑的灵活性,在快速还原魔方的过程中,还培养了她的判断、推理、反应以及空间想象能力。只要有机会,父母就会带着陈诺参加一些魔方赛事,并且多次获奖。

在一次比赛中,陈诺非常幸运地遇到了多项吉尼斯世界纪录的保持者——叶佳希老师。叶老师发现了陈诺的天份,毅然收下了这个学生,并引导她开始专研更多的益智项目——汉诺塔、竞技叠杯、华容道、剑玉……

练习汉诺塔不久,叶老师认为陈诺完全有能力向吉尼斯世界纪录发起冲击,于是在叶老师的指导和鼓励下,陈诺在2019年12月22日正式向那个美国小伙发出挑战,挑战地点选在了诞生过多项吉尼斯世界纪录的厦门佳希魔方。本次挑战特邀见证人有央视发现品牌负责人、世界记忆大师、IHNMA催眠大师、竞技叠杯国家队成员、竞技叠杯官方认证裁判、多项吉尼斯世界纪录保持者。

在见证人的见证下,陈诺进行了挑战,挑战有三次机会,陈诺在第一次挑战失败的情况下,冷静调整了心态,第二次挑战不负众望,于35.69秒从美国人手中抢下了这个吉尼斯世界纪录!挑战过程进行了全程录像,吉尼斯总部进行了审核,2020年4月16日认证了此次挑战的成绩。

如今,吉尼斯世界纪录官网上,这项纪录的“地区”一栏,已赫然从“UNITEDSTATES”改成了“CHINA”!

小编知道,你们一定想问,什么是六层汉诺塔呢?那么,下面就到了咱们的科普时间了。

上图中这个带着彩色圈圈的模型,就是六层汉诺塔了。汉诺塔的玩法,实际上不少小伙伴已经知道了,就是游戏里有三根柱子,左边的柱子上从下往上按照大小顺序摞着6片圆盘。玩家需要做的是把圆盘按从下至上面积从大到小的顺序重新移动到最右边的柱子上。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间每次只能移动一个圆盘。