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1, 9月 2022
尖子生思维训练:汉诺塔游戏

1.认识汉诺塔。了解汉诺塔历史及游戏规则,学会移动3~6个圆盘的玩法。能用条理清晰的语言阐述自己的想法。

2.在学习过程中,经过自己的探索,发现前面探究获得的结果可以帮助解决后面未知的问题(递推思想),感知首环移动与圆盘的奇偶性关系。体验数学方法倒推、转换、递归等在游戏中的应用,培养学生思考力。

师:昨天老师留了预习作业,让大家收集有关汉诺塔的资料。现在我们就来看看几位同学收集的资料吧。

生1:通过搜集我知道了汉诺塔的构造,它是由一个底座和三根同样高的柱子构成,这三根柱子从左到右可以叫A柱、B柱、C柱。其中一根柱子上,由下至上还排列着由大到小的8个不同颜色的圆环。

师:“在印度,有这么一个古老的传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。 当把所有的圆环按规则移动到另外某一个柱子上时地球就毁灭了。”这个预言真假,有科学性么?

师:世界末日真的会到来吗?一位法国的著名数学家爱德华听了这个故事,就动手玩了这个游戏,结果他笑了,他为什么笑了呢?今天我们玩一玩这个器具,共同走进奇妙的汉诺塔。(板书课题。)

师:(出示课件。)刚才同学介绍了汉诺塔的三根柱子分别叫A柱、B柱、C柱。为了一会儿操作方便我们还可以把圆环所在的A柱叫起始柱;假如我们想把圆环移到C柱上,C柱就叫目标柱;B柱就叫过渡柱。而在圆环的移动过程中,有时候它们的角色会发生转变。这8个圆环也可以叫做圆盘,我们可以从上至下叫1环、2环、3环……8环,另外这8个环的首领是最小的1环,所以1环也可以叫首环。

师:大家还记得这个游戏的规则吗?把圆环按原来的顺序,也就是原来小环在上,大环在下,把它们移到另一根柱子上时,仍然要小环在上,大环在下。同学们想想移动的过程中我们的第一个目标是把最大环移至目标柱,还是把最小环移至目标柱。(板书:一次一环,大不压小。)动手试试吧。

师:看来要成功地移出8个环确实有难度,它的移动一定是有规律可寻的,那我们可不可以降低难度由易到难,从一个盘的移动开始体会。接下来请大家借助老师为你准备的导学单,我们一起来研究一下。

师:导学单的第一列是什么?(生:环数。师板书。)也就是要移动几个环;第二列呢?这里哪个词最重要?(生:最少用几步。师板书。)“最少”体现了数学上的优化思想,所以也可以说是最优步数;第三列呢?(生:首环位置。师板书。)就是第一步先把首环放在哪根柱子上?这正是我们要验证的一个重要问题。

毋庸置疑一环移出没有障碍,一步就可以完成,第一步首环直接落在目标柱上。(板书:1-1-目。)

师:这两位同学的操作,虽然都把圆环送达了目标柱,但是你更喜欢谁的方法?为什么?(生:用3步完成的。)(板书:3。)当我们选择最简洁的步骤完成任务时,就体现了我们数学中的“优化”思想。在学习和生活中我们会选择优化的方法,效率就会提高,我们的头脑也会变得更聪明更智慧。

现在我们看一下两位同学演示过程的解析图,为什么有的同学用3步,有的同学用5步?他们在第几步出现了不同?

师:首环移动时就不同了。用5步完成的同学第一步把首环落在哪了?(生:目标柱。)。用3步完成的同学,第一步把首环落在哪了?(生:过渡柱。)

移出兩环时为什么把首环落在过渡柱上步数才最优呢?在移动两环时我们的第一目标是——(生:最大环——目标柱。)最大圆环能否直接移去目标柱?(生:不能。)原因是——(生:首环压住了最大环。)怎么办?(生:上面的首环是障碍,所以先把首环落在过渡柱上,首环要礼让才能顺利移出最大环。)就像排队一样,越想往前挤就越浪费时间,首环如果先挤占了目标柱,最大环就不能直接去目标柱了,就浪费了步数,所以首环应落在——(生:过渡柱。)

师:再次操作,请所有同学把首环落在过渡柱上移出两环。如果同桌有困难,请相互帮助。

师:看来首环的位置就已经决定我们的步数是否最优。 要想优化两环的步骤,我们的第一步一定落在哪里?(生:过渡柱上)。回头看移出一环时我们直接把它落到哪根柱子上了?(生:目标柱)。那要想优化三环的步骤首环应该落到哪根柱子上?看课件让我们分组试试,女生落在目标住上,男生落在过渡柱上,把你的步骤记录在导学单上。

师:为什么把首环落到目标柱用的步数最少?请同学们再次移动找出原因。谁来讲讲移三环的时候为什么把首环落到目标柱用的步数最少?

生:移三环的第一目标还是最大环先移到目标柱上,那上面两个环就是大环的障碍,要想把上面两个环都移至过渡柱上,第一个环又是第二个环的障碍,所以要先把第一个环落在目标柱上。

师:他的这种方法叫做倒推法,倒推是一种非常好的数学思想。它是利用已知条件,最大环要移去目标柱,倒着向前推理,那前两环应该怎么办?二环要移至过渡柱,倒着向前推理一環怎么办?这样倒着推理出首环要落在目标柱步骤才能最优。

师:在移出四环之前你能以第一目标:最大环移去目标柱开始,倒推出首环的位置吗?同桌交流,大胆推测。

(一生说推理过程:4-目,前3-过,前2-目,首-过。首环应落在过渡柱位置。)

师:第一目标:最大环去目标柱,前三环要去过渡柱,这时候B柱其实是前三环的——(生:目标柱。)C柱变成前3环的——(生:过渡柱。)按三环的移动经验,7步把它们移至B柱上。第八步将最大盘成功落在目标柱上,再将前三环移至C柱上,这时候C柱又变成前三环的目标柱了,A柱变成前三环的过渡柱。这个过程你有什么发现?在移动的过程中三个柱子的角色是在变换的。这种变换就是另一种数学思想——转换,利用转换的思想可以令我们走出困境。

观察前四环的移动,你们发现了首环移动的规律了吗?(生:单数环首环移动到目标柱,双数环首环移动到过渡柱。)能根据这个规律推想一下移出五环时,首环落在哪?(师板书。)

师:我们再看最优步数,四环的步数是怎么得到的?是在几环的基础上?7×2+1,(师板书)这个7是谁用的步数?这个1呢?哪位同学来说一说?

师:五环用多少步你能算出来吗?(生:15×2+1=31。)六环呢?(生:31×2+1=63。)

师:那我们能不能将它分解成前四环和最大环来想,前四环如果能移到过渡柱,最大环就能顺利地移至目标柱。我们刚刚研究过四环的移出用15步。 同样道理,移4环需要考虑怎样把前3环移出,移3环需要考虑怎样把前2环移出。这种思想就叫递归。递归就是把一个复杂的思想转换成与之类似的简单的小问题来解决。5环较为复杂,我们就把它转换成4环来想,4环就把它转换成3环来想,这就是递归。

师:同学们真是了不起,在短短的时间内不仅探究出首环位置的规律,还找到了计算圆环移动次数的方法。数学家爱德华也找到了这个方法,他按这个方法计算下去,10环1023步,20环100多万步,30环 10 亿多步……继续算下去,移动完64个环要用1800多兆步,移完这个步数大约要用5850亿年。5850亿年,那是个遥不可及的未来!所以爱德华笑了。通过汉诺塔的学习,我们了解并运用了一些数学思想,比如:化难为易、优化、倒推、转换、递归……这些数学思想能使我们变得更聪明更智慧,少年智则国智!少年强则国强!有了你们的大智慧我们的祖国一定会更加富强!

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